Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và \(f(x)>0 \text { khi } x \in[0 ; a](a>0)\). Biết \(f(x) \cdot f(a-x)=1\) , tính tích phân \(I=\int_{0}^{a} \frac{d x}{1+f(x)}\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &I=\int_{0}^{a} \frac{d x}{1+f(x)}(1)\\ &\text { Đặt } t=a-x \Rightarrow d t=-d x \end{aligned}\)
Đổi cận \(\begin{array}{l} x=0 \Rightarrow t=a \\ x=a \Rightarrow t=0 \end{array}\)
\(\Rightarrow I=\int_{a}^{0}-\frac{d t}{1+f(a-t)}=\int_{0}^{a} \frac{1}{1+f(a-t)} d t=\int_{0}^{a} \frac{1}{1+f(a-x)} d x(2)\)
\(\begin{array}{l} (1)+(2) \Rightarrow 2 I=\int_{0}^{a}\left[\frac{1}{1+f(x)}+\frac{1}{1+f(a-x)}\right] d x \\ =\int_{0}^{a} \frac{1+f(a-x)+1+f(x)}{1+f(x) \cdot f(a-x)+f(x)+f(a-x)} d x=\int_{0}^{d} \frac{2+f(a-x)+f(x)}{2+f(a-x)+f(x)} d x=\int_{0}^{a} d x=a \Rightarrow I=\frac{a}{2} \end{array}\)
