Cho hình chóp cụt đều ABC.A'B'C' với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ A'B'C' có cạnh bằng \(\frac{a}{2}\), chiều cao \(OO' = \frac{a}{2}\). Khẳng định nào sau đây sai?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I là trung điểm của BC.
Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được \(\frac{{AA'}}{{SA}} = \frac{{OO'}}{{SO}} = \frac{1}{2} \Rightarrow SO = 2OO' = a\)
Mặt khác \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến \(\Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta SOA\) vuông tại O ta có:
\(S{A^2} = S{O^2} + A{O^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{12{a^2}}}{9} \Rightarrow SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\Rightarrow AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Vì ABC.A'B'C' là hình chóp cụt đều nên \(AA' = BB' = CC' = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) ⇒ đáp án B sai.
+ Ta có: \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\). Vì \(\Delta SBC\) cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra \(SI \bot BC\).
Mặt khác \(\Delta ABC\) là tam giác đều có I là trung điểm của \(BC \Rightarrow AI \bot BC\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SI,AI} \right) = \left( {SI,OI} \right) = \widehat {SIO}\)⇒ đáp án C đúng.
+ Ta có:
\(\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}}{{\frac{1}{2}.A'B'.A'C'.\sin A'}} = \frac{{AB.AC}}{{A'B'.A'C'}} = \frac{{2A'B'.2A'C'}}{{A'B'.A'C'}} = 4\)
⇒ Đáp án D đúng.
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng \(\alpha\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho các mệnh đề sau với \((\alpha) \text { và }(\beta)\) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến \(m=(\alpha) \cap(\beta) \) và a, b, c, d là các đường thẳng. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\). H là trung điểm của AB, \(SH=HC,SA=AB\). Gọi a là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của \(\tan \alpha \) là:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và khoảng cách từ A đến BD bằng \(\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và SA = 2a. Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD). Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và \(A B=\frac{a \sqrt{6}}{2}, A C=a \sqrt{2}, C D=a\). Gọi E là trung điểm của AD. Góc giữa hai đường thfẳng AB và CE bằng:
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng A và góc \(\hat{A}=60^{\circ}\) , cạnh \(S C=\frac{a \sqrt{6}}{2}\) và SC vuông góc với mặt phẳng \((A B C D)\) . Trong tam giác SAC kẻ \(I K \perp S A\) tại K . Tính số đo góc \(\widehat{\mathrm{BKD}}\)
-
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến \(\Delta\). Lấy A, B cùng thuộc \(\Delta\) và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho \(AC \bot AB\), \(BD \bot AB\) và AB = AC = BD = a. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua A và vuông góc với CD là?
-
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến \(\Delta\). Lấy A, B cùng thuộc \(\Delta\) và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho \(AC \bot AB,BD \bot AB\) và AB = AC = BD. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua A và vuông góc với CD là hình gì?
-
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, có SA vuông góc với (ABC), tam giác SBC cân tại S. Để thể tích của khối chóp S.ABC là \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\) thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC. Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng
-
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a= 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AA' = a, BC = 2a, \(CA = a\sqrt 5 \). Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = SB. Góc giữa (SAB) và (SAD) bằng \(\alpha\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AA' = a, AD = 2a. Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường chéo A'C và đáy ABCD. Tính \(\alpha\).
