Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(75^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB gần bằng giá trị nào sau đây? (lấy 3 chữ số phần thập phân)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} \Rightarrow \widehat {SBA} = 75^\circ \).
\(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\tan 75^\circ = a\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).
Dựng hình bình hành ACBD, ta có \(AC{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) nên:
\(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Gọi M là trung điểm BD, suy ra \(BD \bot AM\).
Từ \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) ta có \(BD \bot SA\), do đó \(BD \bot \left( {SAM} \right)\).
Kẻ \(AH \bot SM\) (\(H \in SM\)) thì \(BD \bot AH\).
Từ \({\rm{\;}}BD \bot AH\) và \(AH \bot SM\) suy ra \(AH \bot \left( {SBD} \right)\).
Nên \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).
Tam giác ABD đều cạnh a nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong tam giác SAM vuông tại A, ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right)}^2}}} = \frac{{25 – 12\sqrt 3 }}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \sqrt {\frac{3}{{25 – 12\sqrt 3 }}} a \approx 0.844a\).
Vậy \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH \approx 0.844a\).
