Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(75^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB gần bằng giá trị nào sau đây? (lấy 3 chữ số phần thập phân)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} \Rightarrow \widehat {SBA} = 75^\circ \).
\(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\tan 75^\circ = a\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).
Dựng hình bình hành ACBD, ta có \(AC{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) nên:
\(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Gọi M là trung điểm BD, suy ra \(BD \bot AM\).
Từ \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) ta có \(BD \bot SA\), do đó \(BD \bot \left( {SAM} \right)\).
Kẻ \(AH \bot SM\) (\(H \in SM\)) thì \(BD \bot AH\).
Từ \({\rm{\;}}BD \bot AH\) và \(AH \bot SM\) suy ra \(AH \bot \left( {SBD} \right)\).
Nên \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).
Tam giác ABD đều cạnh a nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong tam giác SAM vuông tại A, ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right)}^2}}} = \frac{{25 – 12\sqrt 3 }}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \sqrt {\frac{3}{{25 – 12\sqrt 3 }}} a \approx 0.844a\).
Vậy \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH \approx 0.844a\).
Câu hỏi liên quan
-
Xét tứ diện (OABC ) có (OA ), (OB ), (OC ) đôi một vuông góc. Gọi \(\alpha, \beta, \gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng (OA ), (OB ), (OC ) với mặt phẳng (ABC) (hình vẽ).
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \left( {3 + {{\cot }^2}\alpha } \right).\left( {3 + {{\cot }^2}\beta } \right).\left( {3 + {{\cot }^2}\gamma } \right)\)
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có \(\Delta ABC\) đều cạnh a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3 \) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).
-
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A′BC) theo a.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và AB = 2a, AC = 3a, SA = 4a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB = a,AC = a\sqrt 3\) . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên \( SA = a\sqrt 2 \) và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD), SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông, \(AB=BC=1,AA'=\sqrt{2}\). M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM; B'C.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA=a\) và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tất cả các cạnh bằng a và có tâm là O gọi M là trung điểm của OA. Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
-
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng \(\frac{{a\sqrt {37} }}{3}\). Gọi M là trung điểm cạnh SA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AO, góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60o. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD) tính theo a bằng
-
Cho hình chóp SABC, \(\Delta SAB\) đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) biết \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
-
Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a. Khi đó, khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với \(AB = 2a\sqrt 3 ;BC = 2a\). Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60o. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm 0, SA vuông góc với đáy (ABCD). Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD ) là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600 . Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
