Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(\widehat{ABC}={{30}^{0}}\), tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Trong (SBC), dựng \(SH\bot BC\). Vì \(\Delta SBC\) đều cạnh a nên H là trung điểm của BC và \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l} \left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\ \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ \left( {SBC} \right) \supset SH \bot BC \end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Vì H là trung điểm của BC nên \(d\left( C,\left( SAB \right) \right)=2d\left( H,\left( SAB \right) \right)\)
Trong (ABC), dựng \(HI\bot AB\) và trong (SHI), dựng \(HK\bot SI\).
\(\left. \begin{array}{l} AB \bot HI\\ AB \bot SH \end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SHI} \right)\)
Ta có \(\left. \begin{array}{l} \left( {SHI} \right) \bot \left( {SAB} \right)\\ \left( {SHI} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SI\\ \left( {SHI} \right) \supset HK \bot SI \end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\)
Tam giác HBI vuông tại I nên \(\sin \widehat{HBI}=\frac{HI}{HB}\Rightarrow HI=HB.\sin \widehat{HBI}=\frac{a}{2}.sin{{30}^{0}}=\frac{a}{4}\)
Tam giác SHI vuông tại H, \(HK\bot SI\) nên:
\(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}\Leftrightarrow H{{K}^{2}}=\frac{S{{H}^{2}}.H{{I}^{2}}}{S{{H}^{2}}+H{{I}^{2}}}=\frac{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}}=\frac{3{{a}^{2}}}{52}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{39}}{26}\)
Vậy \(d\left( C,\left( SAB \right) \right)=2HK=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)
