Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), mặt bên SAB là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm của AO. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi H là trung điểm của AO. Theo giả thiết: \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có: \(CD{\rm{//}}AB \Rightarrow CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\Rightarrow d\left( {SA,CD} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)\).
Mặt khác: \(\frac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{HA}} = 4 \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 4d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(HI \bot AB\) tại I; kẻ \(HK \bot SI\) tại K.
Khi đó: \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).
Tam giác SHI vuông tại H nên: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}}\left( 1 \right)\)
Hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên tam giác ABC đều \( \Rightarrow AC = a;\,BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác AIH đồng dạng tam giác AOB \( \Rightarrow \frac{{IH}}{{OB}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow IH = \frac{{OB.AH}}{{AB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{4}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{8} \left( 2 \right)\)
Tam giác SAB đều nên SA = SB = AB = a.
Tam giác SAH vuông tại H nên \(SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}\left( 3 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{8}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt {15} }}{4}} \right)}^2}}} = \frac{{112}}{{5{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {560} }}{{112}}\).
Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 4d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 4.\frac{{a\sqrt {560} }}{{112}} = \frac{{a\sqrt {560} }}{{28}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với \(SD = a\sqrt 2 \). Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và (SAB).
-
Cho tứ diện SABC trong đóSA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một vàSA = 3a, SB = a,SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(S\text{D}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\) hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Gọi K là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a?
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).
-
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60o. Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AD góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) bằng 60o. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 2a, \(\widehat{ABC}={{120}^{0}}\), SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA=a\) và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60o. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) là
-
Xét tứ diện (OABC ) có (OA ), (OB ), (OC ) đôi một vuông góc. Gọi \(\alpha, \beta, \gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng (OA ), (OB ), (OC ) với mặt phẳng (ABC) (hình vẽ).
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \left( {3 + {{\cot }^2}\alpha } \right).\left( {3 + {{\cot }^2}\beta } \right).\left( {3 + {{\cot }^2}\gamma } \right)\)
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB'D') và (BDA') bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng \(\frac{6a}{7}\) . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = AB = a và AD = x.a. Gọi E là trung điểm của SC. Tìm x, biết khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD) bằng h = a/3
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AC = a\sqrt 5 \) và \(BC = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa SD và BC.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 5 \). Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng alpha . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết \(BC=a\sqrt{3}\), \(BA=a\). Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp S.ABC bằng\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\). Khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SAB) là.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\); AB = 2a, AD = CD = a. Gọi N là trung điểm SA. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và DN, biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).
