Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = AB = a và AD = x.a. Gọi E là trung điểm của SC. Tìm x, biết khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD) bằng h = a/3
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Ta có: E∈SC \( EC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \frac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{ES}}{{CS}} = \frac{1}{2}\)
Từ A kẻ \(AK \bot BD\left( {K \in BD} \right)\) , kẻ \( AH \bot SK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in SK} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \to BD \bot (SAK) \to BD \bot AH(2)\)
Từ (1) và (2)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right).\\ \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2.d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2a}}{3}. \end{array}\)
Mà \( \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)
Tam giác ABD vuông tại A, có đường cao AK.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}{x^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {x^2} = 4 \end{array} \right. \to x = 2 \end{array}\)
