Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại \(A,{\rm{ }}AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^ \circ }\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha\) sao cho \(\tan \alpha = \frac{3}{{\sqrt 7 }}\). Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có:
Gọi H là hình chiếu của J lên AB
Gọi G là hình chiếu của G lên AB
Gọi I là hình chiếu của G lên SZ
\(\begin{array}{l} BJ = \sqrt {B{A^2} + A{J^2} - 2BA.AJ.cos{{120}^0}} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}a\\ {S_{\Delta BAJ = }}\frac{1}{2}.AB.AJ.sin{120^0} = \frac{1}{2}JH.AB \Leftrightarrow JH = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\\ \frac{{GZ}}{{JH}} = \frac{{BG}}{{BJ}} = \frac{2}{3} \Rightarrow GZ = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\\ \tan \alpha = \frac{{SG}}{{GC}} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt 7 }} = \frac{{SG}}{{BG}} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt 7 }} = \frac{{SG}}{{\frac{2}{3}BJ}}\\ \Leftrightarrow SG = \frac{2}{{\sqrt 7 }}.\frac{{\sqrt 7 }}{2}a = a\\ d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 3d\left( {G,\left( {SAB} \right)} \right) = 3GI = 3.\frac{{SG.GZ}}{{SZ}}\\ = 3\frac{{SG.GZ}}{{\sqrt {S{G^2} + G{Z^2}} }} = 3.\frac{{a.\frac{{\sqrt 3 }}{6}a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{6}a} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}a \end{array}\)
