Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2a, AC = 2a. Hình chiếu của SS lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB. Cạnh bên SC hợp với đáy (ABC) một góc 45o. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có d(A,(SBC)) = 2d(H,(SBC)).
Trong mặt phẳng (ABC), kẻ HM⊥BC. Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK⊥SM(1).
\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot SH\\ BC \bot HM \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SHM) \Rightarrow BC \bot HK(2).\)
Từ (1),(2) ta có HK⊥(SBC).
Ta có tam giác HBM đồng dạng với tam giác CBA nên:
\(\frac{{HB}}{{CB}} = \frac{{HM}}{{CA}} \Rightarrow HM = \frac{{HB.CA}}{{CB}} = \frac{{a.2a}}{{2\sqrt 2 a}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\)
Xét tam giác vuông AHC, có \(HC = \sqrt {H{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = \sqrt 5 a.\)
Ta có \(\widehat {SCH} = {30^o}\left( {gt} \right)\). Xét tam giác vuông SHC có \(SH = HC.\tan {45^0} = \sqrt 5 a.\)
Xét tam giác vuông SHM có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{5{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{11}}{{5{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 5 a}}{{\sqrt {11} }}.\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 5 a}}{{\sqrt {11} }}.\)
