Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(AB=1\), \(AC=2\) và \(\widehat{BAC}=60{}^\circ .\) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), \(SC\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\).

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với trục hoành có dạng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, \(A(-3 ; 4 ; 2), B(-5 ; 6 ; 2), C(-10 ; 17 ;-7)\). Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB . 

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm H của cạnh \(BC.\) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Gọi G là trọng tâm tam giác \(SAC,R\) là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( SAB \right).\) Đẳng thức nào sau đây sai?

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính AB với \(A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)\) là:

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 ,cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 ,cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 ,cm. Bán kính của viên billiards đó bằng

Một mặt cầu có bán kính bằng a. Diện tích của mặt cầu đó là:

Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V₁ là thể tích khối lập phương, V₂ là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \( \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt cạnh \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại các điểm \(M\), \(N\), \)P\). Thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).

Cho hình chóp đều (S.ABCD ) có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có \( \widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\) Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?

Cho \(I\left( {1; – 2;3} \right)\). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho \(AB = 2\sqrt 3 \).

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;3; 2) và mặt phẳng \((P): 3 x+6 y-2 z-4=0\). Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) là 

Cho khối cầu có thể tích là \(36\pi\) . Diện tích mặt cầu đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – 16 = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính r. Khi đó, giá trị của biểu thức L = a + b + c + r bằng

Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là điểm \(I\left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x – 2y + z + 3 = 0\) theo một đường tròn có bán kính bằng 4 có phương trình là

Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và đi qua giao điểm của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) .

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính bằng: