Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; góc BAC = 1200 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.
Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và AM⊥BC⇒AH⊥BC (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi ⇒HB=HC
Xét tam giác ABH có AB = BH, \( \angle BAH = \frac{1}{2}\angle BAC = {60^0}\) nên là tam giác đều, do đó HA = HB.
Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.
Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.
Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.
⇒ΔAHI=ΔA′H′I (2 cạnh góc vuông) ⇒IA=IA′. Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có:
\( AI = \sqrt {A{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là \(R=2\sqrt2\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là:
\( {S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 32\pi \)
Câu hỏi liên quan
-
Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500/3 m3. Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây là 100.000 đồng /m2. Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là
-
Khối cầu thể tích V thì bán kính là:
-
Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y – 2z + 2 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng \(\left( d \right)\), có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; – 1;1} \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là
-
Diện tích S của mặt cầu có bán kính \(R = a\sqrt 5 \) là
-
Có 4 viên bi hình cầu bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc vởi cả 3 viên bi trên như hình vẽ bên dưới. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ 4 có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), cạnh huyền \(BC=6\,\,\left( cm \right)\), các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc \(60{}^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) theo \(a.\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), Cho mặt cầu \(\left( S \right)3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y – 18z – 3 = 0\). Tâm của \((S)\) có tọa độ là
-
Cho mặt cầu \(S\left( O;R \right),A\) là một điểm ở trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng \({{60}^{0}}.\) Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
-
Cho hình chóp đều S.ABC có \(AB=a\), \(SB=2a\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm \(A(1 ; 2 ; 3) \text { và } \mathrm{B}(-1 ; 4 ; 1)\) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
-
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;\,0;\, – 2} \right)\), bán kính r = 4?
-
Một mặt cầu có diện tích \(16\pi \). Tính bán kính mặt cầu đó.
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 4} \right)\) và diện tích bằng \(36\pi \). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
-
Cho một đồ chơi hình khối chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = 6cm. Trong tất cả các khối cầu có thể chứa đồ chơi đó thì khối cầu có bán kính nhỏ nhất là:
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính bằng:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 2;2; – 2} \right); B\left( {3; – 3;3} \right)\). Điểm M trong không gian thỏa mãn \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{3}\). Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng
-
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a,b,c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Diện tích của mặt cầu (S) theo a,b,c là:
-
Cho điểm \(I\left( {1;7;5} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 6}}{{ – 1}} = \frac{z}{3}\). Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng \(2\sqrt {6015} \) là
