Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi V₁, V₂ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V₁ + V₂?

A. \(\frac{{17\sqrt 2 }}{8}\)

B. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{8}\)

C. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{8}\)

D. \(\frac{{13\sqrt 2 }}{8}\)

Sai A là đáp án đúng Xem lời giải

Chính xác Xem lời giải

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

ADSENSE

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Bài: Mặt cầu

Lời giải:

Báo sai

Tứ diện ABCD đều, gọi H là tâm tam giác đều BCD ⇒AH⊥(BCD)

Có (AMN)⊥(BCD)⇒(AMN)⊃AH⇒H∈MN

\( \Rightarrow {V_{ABMN}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BMN}}\), với AH không đổi.

Dễ thấy diện tích tam giác BMN nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác BMN đều, khi đó MN // CD

\( \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC = 2 \Rightarrow {S_{BM{N_{\min }}}} = \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \)

Diện tích tam giác BMN lớn nhất khi và chỉ khi N≡D hoặc M≡C , khi đó

\( {S_{BM{N_{\max }}}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{8}\)

Có

\(\begin{array}{l} BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}AH.{S_{BM{N_{{\rm{max}}}}}} = \frac{1}{3}\sqrt 6 .\frac{{9\sqrt 3 }}{8} = \frac{{9\sqrt 2 }}{8}}\\ {}&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {V_2} = \frac{1}{3}AH.{S_{BM{N_{{\rm{min}}}}}} = \frac{1}{3}\sqrt 6 .\sqrt 3 = \sqrt 2 }\\ {}&{ \Rightarrow {V_1} + {V_2} = \frac{{17\sqrt 2 }}{8}} \end{array} \end{array}\)

ADMICRO

YOMEDIA

Câu hỏi liên quan

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, \(A(-3 ; 4 ; 2), B(-5 ; 6 ; 2), C(-10 ; 17 ;-7)\). Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB .
Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem đóng băng có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng bán kính hình cầu. Biết rằng khi kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy ốc quế và thể tích phần kem sau khi tan chảy bằng 75% thể tích phần kem đóng băng. Tỷ số giữa chiều cao và bán kính đường tròn đáy của hình nón bằng:
Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình mặt cầu?

ZUNIA12

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I(1;2;0). Một mặt phẳng (P) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right)\) Biết diện tích lớn nhất của \(\left( C \right)\) bằng \(3\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là
Giá trị \(\alpha\) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0\)? \((k\in Z)\)
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) biết \(\left( S \right)\) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại điểm \(M\left( {1;2;0} \right)\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh là 10cm. Gọi O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu là:
Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng d cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm A,B. Tính diện tích tam giác IAB.
Cho khối cầu có thể tích là \(36\pi\) . Diện tích mặt cầu đã cho bằng
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 4} \right)\) và diện tích bằng \(36\pi \). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với trục hoành là
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A,AB = AC = a,AA' = acăn 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA'B'C' là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 1;2;3} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x – y + 2z – 8 = 0\) theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng \(8\pi \) có diện tích bằng
Trong không gian \(Oxyz,\) phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( – 1;2;0),\) bán kính \(R = 4\) là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {5;1; – 1} \right), B\left( {14; – 3;3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2;2} \right)\). Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A và B lên \(\Delta \). Mặt cầu đi qua hai điểm C, D có diện tích nhỏ nhất là
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π(dm³) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:
Khối cầu bán kính R = 2a có thể tích là
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 27\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right), B\left( {2;\,0;\,0} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết rằng \(\left( \alpha \right):ax + by – z + c = 0\), khi đó a – b + c bằng
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu \(p.\) Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là \(\frac{p}{2}.\) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng: