Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(O=AC\cap BD\), suy ra \(SO\bot \left( ABCD \right)\).
Ta có \({{60}^{0}}\text{=}\widehat{SB,\left( ABCD \right)}=\widehat{SB,OB}=\widehat{SBO}\).
Trong \(\Delta SOB\), ta có \(SO=OB.\tan \widehat{SBO}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).
Ta có \(SO\) là trục của hình vuông \(ABCD\).
Trong mặt phẳng \(SOB\), kẻ đường trung trực \(d\) của đoạn \(SB\).
Gọi \(I = SO \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I \in SO\\ I \in d \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} IA = IB = IC = ID\\ IS = IB \end{array} \right.\) \(\Rightarrow IA=IB=IC=ID=IS=R\).
Xét \(\Delta SBD\) có \(\left\{ \begin{array}{l} SB = SD\\ \widehat {SBD} = \widehat {SBO} = {60^o} \end{array} \right. \Rightarrow \) \(\Delta SBD\) đều.
Do đó \(d\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta SBD\). Suy ra \(I\) là trọng tâm \(\Delta SBD\).
Bán kính mặt cầu \(R=SI=\frac{2}{3}SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}\). Suy ra \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}.\)
