Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi O,O′ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).
Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.
Qua N kẻ NI // B’E (I∈OO′) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} B'E \bot BB'\\ NI\parallel B'E \end{array} \right. \to NI \bot BB' \to IM = IB'\)
Lại có I∈OO′ nên IA′=IB′=IC'
Do đó ta có IA′=IB′=IC′=IM nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính R=IB'
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} NI\parallel B'O'\\ B'N\parallel O'I \end{array} \right. \to \) O’B’NI là hình bình hành
\( \Rightarrow O'I = B'N = \frac{1}{2}B'M = \frac{1}{4}BB' = \frac{a}{2}\)
Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên \( B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'O = \frac{2}{3}B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:
\( IB' = \sqrt {O'{I^2} + B'{O^{\prime 2}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)
