Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B có cạnh AB = 3 , BC = 4 và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot BA\\ BC \bot DA \end{array} \right. \to BC \bot (ABD) \to BC \bot BD\) ⇒ ΔBCD vuông tại B.
Gọi I là trung điểm của CD thì \( IB = IC = ID = \frac{1}{2}CD\)
Do đó \(IA=IB=IC=ID⇒\) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Tam giác ABC vuông tại B nên \( AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) (Định lí Pytago).
Vì DA⊥(ABC) nên AC là hình chiếu của DC lên (ABC).
\( \Rightarrow \angle \left( {DC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {DC;AC} \right) = \angle DCA = {45^0}\)
Tam giác DAC vuông tại A có \( \widehat {DCA} = {45^0}\) nên là tam giác vuông cân \(\begin{array}{l} \Rightarrow DC = AC\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \\ \Rightarrow R = IA = \frac{1}{2}DC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
\( V = \frac{4}{3}\pi I{A^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \)
Câu hỏi liên quan
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và diện tích bằng \(32\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là
-
Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là
-
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = 3a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:
-
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}\) là
-
Bạn Nam cao 1,8m tham gia trò chơi nhà bóng. Bạn Nam phải đứng thẳng trong quả bóng hình cầu và lăn trên cỏ. Để Nam có thể đứng được trong quả bóng thì Nam phải chọn quả bóng có thể tích ít nhất là bao nhiêu trong các kết quả sau:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 34\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( S \right)\)?
-
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Tìm bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right), B\left( {0; – 3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;6} \right)\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC là:
-
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:
-
Trong không gian \(Oxyz\), Cho mặt cầu \(\left( S \right)3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y – 18z – 3 = 0\). Tâm của \((S)\) có tọa độ là
-
Khẳng định nào sau đây là sai? Các hình chóp nào sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
-
Mặt cầu có đường kính là 10. Diện tích S của mặt cầu bằng
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là điểm \(I\left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x – 2y + z + 3 = 0\) theo một đường tròn có bán kính bằng 4 có phương trình là
-
Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích mặt cầu đã cho bằng:
-
Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng a . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi \(2\sqrt 3 \pi a\) . Diện tích mặt cầu (S) bằng bao nhiêu?
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; góc BAC = 1200 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
-
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π(dm3) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
