Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2,3,3,2(đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi A, B là tâm mặt cầu bán kính bằng 2; C, Dlà tâm mặt cầu bán kính bằng 3; I là tâm mặt cầu bán kính x tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A,B,C,D nói trên.
Dễ thấy A,B,C,D không đồng phẳng.
Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Mặt cầu \(\left( I \right)\) tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A,B,C,D nên \(IA = IB = x + 2,\,\,IC = ID = x + 3\).
Gọi \(\left( P \right), \left( Q \right)\) lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn AB và CD.
Ta có \(M \in \left( P \right); N \in \left( Q \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB \Rightarrow I \in \left( P \right)\\IC = ID \Rightarrow I \in \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
Tứ diện ABCD có DA = DB = CA = CB = 5 nên \(\Delta CAB = \Delta DAB \Rightarrow NA = NB$ hay \(N \in \left( P \right)\).
Tương tự chứng minh được \(M \in \left( Q \right)\).
suy ra \(MN = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) và MN là đường vuông góc chung của AB và CD. (2).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(I \in MN\)
Tam giác IAM có \(IM = \sqrt {I{A^2} – A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} – 4} \)
Tam giác CIN có \(IN = \sqrt {I{C^2} – C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} – 9} \)
Tam giác ABN có \(NM = \sqrt {N{A^2} – A{M^2}} = \sqrt {12} \)
Suy ra \(\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} – 9} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} – 4} = \sqrt {12} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 6x} + \sqrt {{x^2} + 4x} = \sqrt {12} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 6x} = \sqrt {12} – \sqrt {{x^2} + 4x} \)
\( \Rightarrow {x^2} + 6x = 12 + {x^2} + 4x – 4\sqrt {3{x^2} + 12x} \Leftrightarrow 2\sqrt {3{x^2} + 12x} = 6 – x\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\12{x^2} + 48x = 36 – 12x + {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\11{x^2} + 60x – 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{6}{{11}}\\x = – 6\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Vì bán kính không âm nên: \(x = \frac{6}{{11}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.
-
Cho hình chóp tam giác S.ABC có \( \widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\) Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?
-
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(1;0;1) và cắt mặt phẳng (P):x−y+z−1=0 với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2.
-
Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là
-
Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là
-
Trong không gian Oxyz, gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}\) và đi qua điểm \(M\left( {0;3;9} \right)\). Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng x – 2y + 2z + 2 = 0, 3x – 2 = 0. Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
-
Cho lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=AC=a,BC=\sqrt{3}a\). Cạnh bên \(A{A}'=2a\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(A{B}'{C}'C\) bằng
-
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu:
-
Biết rằng đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.\) là tiếp tuyến của mặt cầu tâm I(0;0;1). Bán kính R của mặt cầu đó là
-
Cho khối chóp\(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) biết \(AB=1\);\(AC=\sqrt{3}\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), biết \(SM\bot (ABC)\). Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện \(SMAB\) và \(SMAC\) bằng \(15\pi \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a.\) Đường thẳng \(SA\) vuông góc đáy \(\left( ABCD \right).\) Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng \(SB.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(HBCD\) có giá trị nào sau đây?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) có tâm I và bán kính R lần lượt là
-
Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ bằng bê tông với chiều cao 100cm, độ dày của thành ống là 10cm và đường kính của ống là 50cm. Lượng bê tông cần phải đổ là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt2\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 Mặt phẳng \((\alpha)\) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:
-
Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y+6 z-2=0\).Tìm của toạ độ tâm và tính bán kính
-
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π(dm3) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có đường kính AB với \(A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)\) có phương trình là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I (-1;4;2) và tiếp xúc mặt phẳng \((P):-2 x+2 y+z+15=0 \text { . }\) . Khi đó phương trình của mặt cầu (S) là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1);B(2; – 1;0). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm O và bán kính AB là:
