Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(BC\). Góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\), \(R\) là bán kính mặt cầu có tâm \(G\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( SAB \right)\). Đẳng thức nào sau đây sai?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có \({{60}^{0}}=\widehat{SA,\left( ABC \right)}=\widehat{SA,HA}=\widehat{SAH}\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Trong tam giác vuông \(SHA\), ta có \(SH=AH.\tan \widehat{SAH}=\frac{3a}{2}\).
Vì mặt cầu có tâm \(G\) và tiếp xúc với \(\left( SAB \right)\) nên bán kính mặt cầu \(R=d\left[ G,\left( SAB \right) \right].\)
Ta có \(d\left[ G,\left( SAB \right) \right]=\frac{1}{3}d\left[ C,\left( SAB \right) \right]=\frac{2}{3}d\left[ H,\left( SAB \right) \right].\)
Gọi \(M,\text{ }E\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(MB\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} CM \bot AB\\ CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot AB\\ HE = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \end{array} \right.\).
Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(SE\), suy ra \(HK\bot SE\). \(\left( 1 \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot AB\\ AB \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AB \bot HK.\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(HK\bot \left( SAB \right)\) nên \(d\left[ H,\left( SAB \right) \right]=HK\).
Trong tam giác vuông \(SHE\), ta có \(HK=\frac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\).
Vậy \(R=\frac{2}{3}HK=\frac{a}{\sqrt{13}}\).
