Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x0<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{{SC}}{{SB}}\\ \to SC = \frac{{SH.SC}}{{SO}} = \frac{{\left( {h - x} \right)\sqrt {{R^2} + {h^2}} }}{h}\\ \to HC = S{C^2} - S{H^2} = \frac{{{R^2} + {h^2}}}{{{h^2}}}{\left( {h - x} \right)^2} - {\left( {h - x} \right)^2}\\ {V_{tru}} = \pi H{C^2}.OH = \pi \left( {\frac{{{R^2} + {h^2}}}{{{h^2}}} - 1} \right){\left( {h - x} \right)^2}.x\\ V'(x) = \pi \left( {\frac{{{R^2} + {h^2}}}{{{h^2}}} - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4hx + {h^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{h}{3} \end{array}\)
Vậy thể tích lớn nhất của hình trụ là:
\( {V_{tru(\max )}} = \pi \left( {\frac{{{R^2} + {h^2}}}{{{h^2}}} - 1} \right){\left( {h - \frac{h}{3}} \right)^2}\frac{h}{3} = \pi \frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{4{h^2}}}{9}.\frac{h}{3} = \frac{{4\pi {R^2}h}}{{27}}\)
