Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):\,{(x – 1)^2} + (y – 2){}^2 + {(z + 1)^2} = 9\) và hai điểm \(A(4\,;\,3\,;\,1), B(3\,;\,1\,;\,3); M\) là điểm thay đổi trên (S). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2M{A^2} – M{B^2}\). Xác định m – n.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi I là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow I(2{x_A} – {x_B};2{y_A} – {y_B};2{z_A} – {z_B}) \Rightarrow I(5\,;\,5\,;\, – 1)\). Suy ra I là điểm cố định.
Ta có \(P = 2M{A^2} – M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)
\( = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {2\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} } \right) + 2I{A^2} – I{B^2}\)
\( = 3M{I^2} + 2I{A^2} – I{B^2}\).
Khi đó P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất, P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất.
Mặt cầu \((S):\,{(x – 1)^2} + (y – 2){}^2 + {(z + 1)^2} = 9\) có tâm \(J(1\,;\,2\,;\, – 1)\) và bán kính R = 3
Suy ra IJ = 5
Mà M là điểm thay đổi trên (S)
Do đó: minMI = I{M_1} = JI – R = 5 – 3 = 2
max\(MI = I{M_2} = JI + R = 5 + 3 = 8\)
Vậy \(m – n = {8^2} – {2^2} = 60\).
