Cho điểm \(I\left( {1;0;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}\). Phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho \(\Delta IAB\) đều là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;1;2} \right)\) và \(P\left( {1; – 1;1} \right) \in d\).
Ta có: \(\overrightarrow {IP} = \left( {0; – 1; – 2} \right) \Rightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right] = \left( {0; – 4; – 2} \right)\).
Suy ra: \({\rm{d}}\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\).
Gọi R là bán kính của (S).
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : \(IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\).
Xét tam giác IAB, có \(IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt {15} }}{9}\).
Vậy (S) : \({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{80}}{{27}}\).
