Cho điểm \(I\left( {1;0;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}\). Phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho \(\Delta IAB\) đều là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;1;2} \right)\) và \(P\left( {1; – 1;1} \right) \in d\).
Ta có: \(\overrightarrow {IP} = \left( {0; – 1; – 2} \right) \Rightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right] = \left( {0; – 4; – 2} \right)\).
Suy ra: \({\rm{d}}\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\).
Gọi R là bán kính của (S).
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : \(IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\).
Xét tam giác IAB, có \(IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt {15} }}{9}\).
Vậy (S) : \({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{80}}{{27}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y – 2z – 8 = 0\). Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; – 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và diện tích bằng \(32\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là
-
Khẳng định nào sau đây là sai? Các hình chóp nào sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu:
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 4} \right)\) và diện tích bằng \(36\pi \). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A,AB = AC = a,AA' = acăn 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA'B'C' là:
-
Cho điểm \(I\left( {1;7;5} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 6}}{{ – 1}} = \frac{z}{3}\). Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng \(2\sqrt {6015} \) là
-
Cho hình chóp có SA vuông góc (ABC) \( \;\left( {AB{\rm{ }} = 3,{\rm{ }}AC = 2,\widehat {BAC} = {\rm{ }}{{60}^0}} \right)\). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCNM.
-
Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right),\,\,SA=2a\), tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,BC=2a\sqrt{2}\), \(\cos \widehat{ACB}=\frac{1}{3}.\) Tính diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\)
-
Khi cắt mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết \(R=1\), tính bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
-
Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a.\) Đường thẳng \(SA\) vuông góc đáy \(\left( ABCD \right).\) Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng \(SB.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(HBCD\) có giá trị nào sau đây?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) và hình nón \(\left( H \right)\) có đỉnh \(A\left( {3;2; – 2} \right)\) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\) cắt mặt cầu tại \(M,{\rm{ }}N\) sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm \(I(2 ; 1 ;-4)\) và mặt phẳng \((P): x+y-2 z+1=0\) . Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S).
-
Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO=h;OB=R;OH=x0<x<h. Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.
-
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
-
Thể tích của khối cầu có bán kính 3a bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(AB=a.\) Cạnh bên \(SA=a\sqrt{2}\), hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) là:
-
Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là
-
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;4} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z – 2)^2} = 27\) có phương trình:
