Cho hình chóp \(S.ABCD\) có SA vuông góc với đáy, \(SA=a\sqrt{6}.\) Đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,AB=BC=\frac{1}{2}AD=a.\) Gọi E là trung điểm \(AD.\) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD.\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi H là trung điểm của CD và \(d\) là đường thẳng đi qua H và vuông góc với đáy. Gọi I và R là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(S.CDE.\) Suy ra I thuộc d.
Đặt \(IH=x.\) Trong mp \(\left( \text{AS}IH \right)\) kẻ đường thẳng đi qua I và song song với AH cắt AS tại K.
Ta có: \(I{{D}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}.\)
\(\begin{align} & I{{S}^{2}}=I{{K}^{2}}+K{{S}^{2}}=A{{H}^{2}}+K{{S}^{2}} \\ & =A{{C}^{2}}+C{{H}^{2}}+K{{S}^{2}}=2{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}+{{\left( a\sqrt{6}-x \right)}^{2}} \\ \end{align}\)
Suy ra: \({{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}=2{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}+{{\left( a\sqrt{6}-x \right)}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{6}a}{3}.\)
Vậy bán kính mặt cầu bằng \(R=\frac{\sqrt{114}a}{6}.\)
