Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi O là trung điểm của AC.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot SA\\ BC \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AH \bot SB\\ AH \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot HC\)⇒ ΔAHC vuông tại H ⇒H thuộc mặt cầu tâm O đường kính AC.
Ta lại có: ΔAKC,ΔABC lần lượt vuông tại K,B ⇒ K,B thuộc thuộc mặt cầu tâm O đường kính AC.
⇒ 5 điểm A,H,K,B,C đều thuộc mặt cầu tâm O đường kính AC hay khối chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm O đường kính AC. Khi đó bán kính mặt cầu là \( R = \frac{{AC}}{2}\)
Tam giác ABC vuông cân tại B B và \( BC = a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB bằng \( V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
