Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(AC=b\), \(AB=c\), \(\widehat{BAC}=\alpha \). Gọi \({B}'\), \({C}'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB\), \(SC\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) theo \(b\), \(c\), \(\alpha .\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\).
Tam giác \(AB{B}'\) vuông tại \({B}'\) nên \(M\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AB{B}'\), suy ra trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AB{B}'\) chính là đường trung trực \(\Delta \) của \(AB\) (xét trong mp \(\left( ABC \right)\)).
Tam giác \(AC{C}'\) vuông tại \({C}'\) nên \(N\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AC{C}'\), suy ra trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AC{C}'\) chính là đường trung trực \({{\Delta }_{1}}\) của \(AC\) (xét trong mp \(\left( ABC \right)\)).
Gọi \(I=\Delta \cap {{\Delta }_{1}}\) thì \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(I\) cách đếu các điểm \(A,B,C,{B}',{C}'\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(ABC{B}'{C}'\).
Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(ABC{B}'{C}'\) thì \(R\) chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác\(ABC\).
Ta có \(R=\frac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{\Delta ABC}}}\) \(=\frac{c.b.BC}{4.\frac{1}{2}bc.\sin \alpha }=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos \alpha }}{2\sin \alpha }\).
