Cho hình chóp S.ABC có \( SA = SB = SC = a\sqrt 3 ;AB = AC = a;BC = 3a\). Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R.
Ta có \( \frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{{BC}}{{\sin BAC}}\)
Tam giác ABC có
\(\begin{array}{l} AB = AC = 2a;BC = 3a\\ \Rightarrow \cos BAC = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = - \frac{1}{8} \Rightarrow \sin BAC = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin BAC = \frac{{{a^2}.3\sqrt 7 }}{4} \end{array}\)
Khi đó \( R = \frac{{BC}}{{2\sin BAC}} = \frac{{3a}}{{2.\frac{{3\sqrt 7 }}{8}}} = \frac{{4a\sqrt 7 }}{7}\)
Chiều cao hình chóp là \( h = \sqrt {S{A^2} - {R^2}} = \frac{{a\sqrt {35} }}{7}\)
Khi đó thể tích hình chóp là
\( V = \frac{1}{3}h.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {35} }}{7}.\frac{{3\sqrt 7 }}{4}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}\)
Đáp án cần chọn là: D
