Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(D.\) SA vuông góc với mặt đáy \((ABCD);AB=2a,AD=CD=a.\) Góc giữa mặt phẳng \((SBC)\) và mặt đáy \((ABCD)\) là \({{60}^{o}}\). Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt \(V={{V}_{S.ABCD}}\), ta có: \({{V}_{S.CDA}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}};{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}\)
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó \(MN\parallel AB\) và \(\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.CDM}}}}{{{V_{S.CDA}}}} = \frac{{SC}}{{SC}}.\frac{{SD}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {V_{S.CDM}} = \frac{2}{3}{V_{S.CDA}} = \frac{2}{9}V\\ \frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SC}}{{SC}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABC}} = \frac{8}{{27}}V \end{array}\)
Bởi vậy: \({{V}_{S.CDMN}}={{V}_{S.CDM}}+{{V}_{S.MNC}}=\frac{2}{9}V+\frac{8}{27}V=\frac{14}{27}V\)
