Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), \(AB=a,BC=a\sqrt{3},SA=a\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} AK \bot SC\left( {AK \bot \left( \alpha \right)} \right)\\ AK \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \end{array} \right.\), suy ra \(AK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AK\bot SB\)
Vì \(\Delta SAB\) vuông cân tại A nên K là trung điểm của \(SB.\) Ta có:
\(\frac{{{V}_{S.AHK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA.SK.SH}{SA.SB.SC}=\frac{SH}{2SC}\). Ta có \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a\)
\(SC=\sqrt{A{{C}^{2}}+S{{A}^{2}}}=a\sqrt{5}\), khi đó \(\frac{SH}{SC}=\frac{SH.SC}{S{{C}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.AHK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SH}{2SC}=\frac{1}{10}\), lại có \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)
Vậy \({{V}_{S.AHK}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{60}\)
