Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A'B'C' ) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB = a\sqrt 3, BC = 2a\), đường thẳng AC' tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 300. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AH⊥BC(H∈BC)
Lại có AH⊥BB′ (do BB⊥(ABC) suy ra AH⊥(BCC′B′).
Suy ra \( \widehat {\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {30^0}\)
Ta có: \(\begin{array}{l} AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a,AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ AC' = \frac{{AH}}{{\sin \widehat {AC'H}}} = a\sqrt 3 \Rightarrow CC' = \sqrt {A{C^{\prime 2}} - A{C^2}} = a\sqrt 2 \end{array}\)
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó \( R = \sqrt {{r^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \) với \( r = \frac{{BC}}{2} = a\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC và \(h=CC′=a\sqrt 2\)
Do đó
\( R = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{6{a^2}}}{4} = 6\pi {a^2}\)
