Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
\(A\left( {0;0;0} \right);\,B\left( {1;0;0} \right);\,D\left( {0;1;0} \right);\,A'\left( {0;0;1} \right)\)
\(C\left( {1;1;0} \right);\,B'\left( {1;0;1} \right);\,D'\left( {0;1;1} \right);\,C'\left( {1;1;1} \right)\)
\(\overrightarrow {CB'} = \left( {0; - 1;1} \right);\,\overrightarrow {CD'} = \left( { - 1;0;1} \right)\)
Viết phương trình mặt phẳng (CB'D')
Có VTPT \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ;\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\)
\(\left( {CB'D'} \right):1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\)
\(d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 0 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \(d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30o. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C'. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB = a,AC = a\sqrt 3\) . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)
-
Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy (ABCD ) là hình vuông cạnh bằng (3 ). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa (SB ) và mặt phẳng đáy bằng 600. Gọi (M ), (N ) là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy (BC ) và (CD ) sao cho (BM = 2MC ) và (CN = 2ND ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (DM ) và (SN. )
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(75^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB gần bằng giá trị nào sau đây? (lấy 3 chữ số phần thập phân)
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và A'B' bằng bao nhiêu ?
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \( AB = a\sqrt 2 \). Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
-
Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600 mét, góc \( \widehat {SAB} = {15^0}\) . Do có sự cố đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm của SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM, MN, NP, PQ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỉ số \( k = \frac{{AM + MN}}{{NP + PQ}}\)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại \(A,{\rm{ }}AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^ \circ }\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha\) sao cho \(\tan \alpha = \frac{3}{{\sqrt 7 }}\). Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có \(A{A_1} = 2a,AD = 4a\). Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B1 và C1M bằng bao nhiêu?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD ) là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600 . Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB' và AC bằng:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB=1,AC=\sqrt{3}\). Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, I là trung điểm SC. Hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm H của BC. Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) tạo với \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa SC và AB theo a.
-
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB') và (DA'C') bằng
-
Cho tứ diện SABC trong đóSA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một vàSA = 3a, SB = a,SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
-
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết \( SA = 3a, AB = a\sqrt 3 , BC = a\sqrt 6\) . Khoảng cách từ B đến SC bằng
-
Chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc \({{45}^{0}}\) . Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:
