Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị \(y=(2 x-1) \sqrt{\ln x}\) , trục hoành và đường thẳng x = e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức
 

Cho tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaacaWG4bGaeyOeI0IaaGymaaGaayjkaiaa % wMcaaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaaikdacaWG4bGaamizaiaadIhaaS % qaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaisdaaaaaniabgUIi % Ydaaaa!481B! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx} \). Tìm đẳng thức đúng

Biết \(\int\limits_{0}^{4} \frac{\sqrt{2 x+1} \mathrm{d} x}{2 x+3 \sqrt{2 x+1}+3}=a+b \ln 2+c \ln \frac{5}{3}(a, b, c \in \mathbb{Z}) . \text { Tính } T=2 a+b+c\)

Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (e^x + 1)x

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(\int_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = 0\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1\).Tích phân \(I = \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} \) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Biết \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}\). Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính \(T=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b] \text { và } c \in[a ; b]\) . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = √3 , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục  tại điểm có hoành độ x (\(0 \le x \le \sqrt 3 \)) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và \(\sqrt {1 + {x^2}} \)

Cho hàm số f(x) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}}\). Tính \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

 Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(y=\frac{1}{1+\sin 2 x} \text { với } \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} .\) Biết \(F(0)=1 \text { và } F(\pi)=0\)Tính giá trị của biểu thức \(P=F\left(-\frac{\pi}{12}\right)-F\left(\frac{11 \pi}{12}\right)\)?

Tính \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \)

Cho tích phân:\(I=\int\limits_{1}^{e} \frac{\sqrt{1-\ln x}}{2 x} d x\) .Đặt \(u=\sqrt{1-\ln x}\) .Khi đó I bằng

Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0; 2]. Biết F(0) = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 F\left( x \right)g\left( x \right)dx=3\). Tính tích phân hàm: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 G\left( x \right)f\left( x \right)dx\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x; y = 1 và x = 1 là

 Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn f(1)=2 và \(x\left(f^{\prime}(x)-x\right)=f(x)-1, \forall x>0\). Giá trị của f(e) bằng?

Tính \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\)

Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} \) bằng?

Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) là

Gọi (H)  là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=2 x, y=\frac{1-x}{x}, y=0\) (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(0)=\frac{1}{3}\) và \(f(x)-f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\)  với mọi \(x \in[0 ; 1]\).Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0 ; x=1\)