Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f’\left( x \right) \in \left[ { – 1;1} \right]\) với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right]\). Biết rằng \(f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 1\). Đặt \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), phát biểu nào dưới đây đúng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
Xét \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right) \Rightarrow du = f’\left( x \right){\rm{d}}x\\dv = {\rm{d}}x \Rightarrow v = x – 1\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {x – 1} \right)f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int_0^1 {\left( {x – 1} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} \)
\(\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 + \int_0^1 {\left( {1 – x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} \ge \int_0^1 {\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\).
Xét \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right) \Rightarrow {\rm{d}}u = f’\left( x \right){\rm{d}}x\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x \Rightarrow v = x – 1\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {x – 1} \right)f\left( x \right)} \right|_1^2 – \int_1^2 {\left( {x – 1} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x}\)
\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 + \int_1^2 {\left( {1 – x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} \ge \int_1^2 {\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\).
Vậy \(I \ge 1\).
Câu hỏi liên quan
-
Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{xdx}}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {2x + 1} }}\)
-
Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c\) , các đường thẳng x =1, x = 2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây.
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(x)+2 f(x)=0\) . Biết\(f(1)=1, \text { tính } f(-1)\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\\ {{x^2} - 2x + 3}&{{\rm{ khi }}x < 2} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x + 1)\cos x\;{\rm{d}}x} \) bằng:
-
Giả sử \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}} = \ln \frac{a}{b}\) với a, b là các số tự nhiên và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu \(\int_{1}^{5} f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{3} f(x) d x=7 \text { thì } \int_{3}^{5} f(x) d x\) có giá trị bằng
-
Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường\(y=\ln (x+1)\) , trục hoành và đường thẳng x=e-1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox
-
Tính tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadIhacaaMc8Ua % aeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaik % daaaaaniabgUIiYdaaaa!45B0! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} \)
-
Cho \(\int_{0}^{1}[f(x)-2 g(x)] \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=5 \text {. Khi đó } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\rm{e}}^{2x}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0}\\ {{x^2} + x + 2}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0} \end{array}} \right.\). Biết tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)\;{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{c}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị a + b + c bằng
-
Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho \(\int_{1}^{5} f(x) d x=-7 \text { và } \int_{1}^{5} g(x) d x=5\) và \(\int_{1}^{5}[g(x)-k f(x)] d x=19\) Giá trị của k là:
-
Tích phân \(f\left( x \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} \) bằng
-
Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y\; = \;\sin x\cos x,\;y\; = \;0,\;x\; = \;0,\;x\; = \;\frac{\pi }{2}\) là:
-
Giá trị của tích phân\(I=2 \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{(x+1) \sqrt{x+1}}\)
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện \(2 f(x)+3 f(1-x)=x \sqrt{1-x}\) . Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x\)
-
Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEamaabmaabaGaaGOmaiabgUcaRiaadwgadaah % aaWcbeqaaiaadIhaaaaakiaawIcacaGLPaaacaqGKbGaamiEaaWcba % GaaGimaaqaaiaaigdaa0Gaey4kIipaaaa!43CB! I = \int\limits_0^1 {x\left( {2 + {e^x}} \right){\rm{d}}x} \)
-
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục Ox.
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = −x, y = 2x − x2 có kết quả là
-
Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^1 {{3^x}{\rm{d}}x.} \)
-
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường\(y=x^{2}, y=0, x=0, x=4\) . Đường thẳng \(y=k(0<k<16)\) chia hình thành hai phần có diện tích \(S_{1}, S_{2}\) , (hình vẽ). Tìm k để \(S_{1}=S_{2}\)
