Biết rằng \(I_{1}=\int_{0}^{1}(x+\sqrt{x+1}) d x=\frac{a}{6}+b \sqrt{2}\) . Giá trị của \(a-\frac{3}{4} b\) là

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}\)

Tìm m để \(\int\limits_{m}^{2}(3-2 x)^{4} d x=\frac{122}{5}\)
 

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x+2}\), trục hoành và đường thẳng x = 2 là 

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành, quanh trục hoành.
 

Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn [1;4] thỏa mãn f(1)=1 và \(\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]^{2}=4 f(x), \forall x \in[1 ; 4]\). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=4\).

Biết \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}\). Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính \(T=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin 2x.\sin 3xdx\)

Tích phân \(\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2}+3} d x\) bằng?

Giá trị của tích phân \(\int\limits_{1}^{2} \frac{d x}{(2 x-1)^{2}}\) là

Giá trị của \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaadIhacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaGaaeyzamaa % CaaaleqabaGaamiEaaaakiaabsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaG % ymaaqdcqGHRiI8aaaa!41F4! \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} \)

 Tính tích phân \(I=\int_{0}^{2} \max \left\{x ; x^{3}\right\} d x\)

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) d x=\int_{1}^{8} \frac{f(\sqrt[3]{x})}{x} d x=6\) . Tính tích phân \(\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x} d x\)

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\; = \;10\) và 2f(1) – f(0) = 2. Tính \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right)=1\) và \(f\left( 2 \right)=4\). Tính \(J=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{f}'\left( x \right)+2}{x}-\frac{f\left( x \right)+1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}\).

Giả sử \(I=\int_{1}^{64} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=a \ln \frac{2}{3}+b \text { vói } a, b\) là số nguyên. Tính giá trị a-b

Tích phân \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} \) bằng

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=x^{2} ; y=0 ; x=2\). Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H ) quanh trục Ox .
 

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn\(f^{\prime}(x) \cdot f(x)=x^{4}+x^{2}\) . Biết \(f(0)=2\). Tính \(f^{2}(2)\)?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và \(f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]\). Biết rằng \(\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}\) . Tính \(f(6)\)