Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \frac{{2 – \pi }}{2}\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \) bằng

A. \(\frac{\pi }{4}\)

B. 0

C. 1

D. \(\frac{\pi }{2}\)

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng

Bài: Tích phân

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 – \cos \left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 – \sin 2x} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \)

\( = \left. {\left( {x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{\pi – 2}}{2}\).

Do đó: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \frac{{2 – \pi }}{2} + \frac{{\pi – 2}}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2\sqrt 2 f\left( x \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) + 2{{\sin }^2}\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 0\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f\left( x \right) – \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}^2}{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 0\)

Suy ra \(f\left( x \right) – \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 0\), hay \(f\left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\).

Bởi vậy: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \left. { – \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 0\)