Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn \(f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\).Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\\ &\Rightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x=\left.\ln |x+1|\right|_{0} ^{1}=\ln 2 \cdot\left(^{*}\right)\\ &\text { +) Đặt } u=1-x^{2} \Rightarrow d u=-2 x d x \text { ; Với } x=0 \Rightarrow u=1 \text { và } x=1 \Rightarrow u=0 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \quad(1) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { +) Đặt } u=1-x \Rightarrow \mathrm{d} u=-\mathrm{d} x \text { ; Vói } x=0 \Rightarrow t=1 \text { và } x=1 \Rightarrow t=0 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} x f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} t\quad(2) . \end{aligned}\)
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
\(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\ln 2 \Rightarrow \frac{9}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\ln 2 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{9} \ln 2\)
