Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì G là trọng tâm tam giác ADM nên \(\overrightarrow{ CG}=\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C M}\)
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có \(\overrightarrow{C A}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})\) và
\(\begin{aligned} &\overrightarrow{C M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A})=\frac{1}{2}[\overrightarrow{C B}-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})]=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A D}) \\ &\text { Suy ra } \overrightarrow{C G}=-\overrightarrow{A B}-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A D})=-\left(\frac{5}{2} \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A D}\right) \\ &\text { Ta lại có } \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{D M}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})+\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A D}=-\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A D}\right) \\ &\text { Nên } \overrightarrow{C G} \cdot(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{D M})=\left(\frac{5}{2} \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A D}\right)\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A D}\right) \\ &\qquad=\frac{5}{4} A B^{2}+4 A D^{2}=\frac{21 a^{2}}{4} \end{aligned}\)