Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA’ = a. Gọi N là trung điểm của CC’ và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AP và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(P = A’C \cap AN\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\), khi đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right)}}{{AP}}\).
Kẻ \(AM \bot BC\) và \(AH \bot A’M\).
Ta có
\(BC \bot \left( {A’AM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot A’M\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’BC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(AM = \sqrt {A{B^2} – B{M^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).
Trong tam giác vuông A’AM có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A’}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a\).
Ta có \(\frac{{PN}}{{AP}} = \frac{{CN}}{{AA’}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AP = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}\sqrt {A{C^2} + C{N^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}a\).
Khi đó \(\sin \varphi = \frac{{AH}}{{AP}} = \frac{{3\sqrt {105} }}{{35}} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{2\sqrt {70} }}{{35}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,\(S A \perp(A B C D) \cdot S A=a \sqrt{6}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa SC và mp ( ABCD) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Khi đó góc giữa cạnh bên và đáy bằng
-
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 60o.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
.png)
-
Cho hình thoi ABCD có tâm O , \(A C=2 a ; B D=2 \mathrm{AC}\) . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho \(S O \perp(A B C D)\). Biết \(\tan \widehat{S B O}=\frac{1}{2}\) . Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD)?
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC . Các đường thẳng AH, SK, BC thỏa mãn:
-
Cho hình chóp .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(S A \perp(A B C D\).Gọi AE; AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
-
Cho tứ diện đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính cos góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S trên ( ABC) là:
-
Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB. BC, CD đôi một vuông góc.
Đường thẳng AB vuông góc với :
-
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng SC và đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. AC vuông góc với mặt phẳng.
-
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a.
Đường thẳng SA vuông góc với
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính \(\cos in\) góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp (SBC) là?
-
Cho tứ diện ABCD . Vẽ \(A H \perp(B C D)\) . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Cho hình chóp \(S . A B C D \text { có } S A \perp(A B C D) \text { và } \Delta A B C\) vuông ở B , AH là đường cao của \(\Delta S A B .\) . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C, S B=S D\). Khẳng định nào sau đây sai?
