Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Không mất tính tổng quát, giả sử AB = BC = 1.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot HA\\BA \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BA \bot AH\) (1)
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow BC \bot HC\) (2).
Từ (1) và (2) và từ giả thiết \(\Delta \,ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow ABCH\) là hình vuông.
Ta có \(\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,HA} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)
\( \Rightarrow SH = AH.\tan 45^\circ = 1\) và \(SA = \frac{{AH}}{{\cos 45^\circ }} = \sqrt 2 \).
Gọi \(E = HM \cap BC \Rightarrow E = HM \cap \left( {SBC} \right)\).
Khi đó nếu gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng HM và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{HE}}\).
Kẻ \(HK \bot SC,\,\,K \in SC \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{{SH.HC}}{{\sqrt {S{H^2} + H{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có \(\frac{{ME}}{{HE}} = \frac{{MB}}{{HC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow HE = 2ME = 2HM = 2\sqrt {A{H^2} + A{M^2}} = 2\sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \sqrt 5 \)
Do đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{HE}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính \({\mathop{\rm cos}\nolimits} in\) giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng đáy
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C, S B=S D\). Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp (SBC) là?
-
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’: Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’BD) là:
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = 2 và \(AA’ = 2\sqrt 2 \) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Góc giữa đường thẳng CA’ và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
-
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. AA’ vuông góc với mặt phẳng.
-
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và SA = a. Đáy ABC thỏa mãn \(AB = a\sqrt 3 \). Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)
-
Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc. Đường thẳng AB vuông góc với?
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) Tam giác SBC là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {DM} = 3\overrightarrow {MC} \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là góc nào dưới đây?
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)?
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng 2a, cạnh bên bằng a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và N là trung điểm của BC.Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy
-
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm \(S A \perp(A B C D)\). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng CM và \(\left( {ABCD} \right)\)
