Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Không mất tính tổng quát, giả sử AB = BC = 1.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot HA\\BA \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BA \bot AH\) (1)
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow BC \bot HC\) (2).
Từ (1) và (2) và từ giả thiết \(\Delta \,ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow ABCH\) là hình vuông.
Ta có \(\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,HA} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)
\( \Rightarrow SH = AH.\tan 45^\circ = 1\) và \(SA = \frac{{AH}}{{\cos 45^\circ }} = \sqrt 2 \).
Gọi \(E = HM \cap BC \Rightarrow E = HM \cap \left( {SBC} \right)\).
Khi đó nếu gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng HM và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{HE}}\).
Kẻ \(HK \bot SC,\,\,K \in SC \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{{SH.HC}}{{\sqrt {S{H^2} + H{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có \(\frac{{ME}}{{HE}} = \frac{{MB}}{{HC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow HE = 2ME = 2HM = 2\sqrt {A{H^2} + A{M^2}} = 2\sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \sqrt 5 \)
Do đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{HE}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S trên ( ABC) là:
-
Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C, S B=S D\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính \(\cos in\) góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S ABC . có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC vuông ở B . AH là đường cao của tam giác SAB . Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình chóp S ABC . thỏa mãn \(S A=S B=S C\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp (ABC) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho một điểm S có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Với hai điểm M và N trong (P) sao cho SM ≤ SN, ta có:
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(\sqrt 6 \) và cạnh bên bằng 2. Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)?
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa đường thẳng A’M và mặt phẳng đáy
-
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; góc BAC bằng góc BAD bằng 60o60o. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng
-
Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn SA. Tính góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp (SBC) là?
-
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(S A \perp(A B C D)\). Biết \(S A=\frac{a \sqrt{6}}{3}\) . Tính góc giữa SC và (ABCD)?
-
Mệnh đề nào sau đây có thể sai?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và SA = 2a, gọi M là trung điểm của SC. Tính cos của góc \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng BM và \(\left( {ABC} \right)\).
-
Cho tứ diện ABCD có \(A B=A C \text { và } D B=D C\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a.
Gọi M là trung điểm của AD và K là trung điểm của BD
Góc giữa CM với mặt phẳng (BCD) là:
