Cho một mạch dao động điện từ gồm một tụ điện C và một cuộn cảm L. Bỏ qua điện trở thuần của mạch. Nếu thay C0 bởi các tụ điện C1, C2 (C1 ˃ C2) mắc nối tiếp thì tần số dao động riêng của mạch là 12,5 Hz, còn nếu thay bởi các tụ điện mắc song song thì tần số dao động riêng của mạch là 6 Hz. Xác định tần số dao động riêng của mạch khi thay C0 bởi C1?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhi mắc hai tụ điện nối tiếp, ta có \(\frac{1}{C}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}}.\)
Chu kì dao động của mạch:
\(f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\Rightarrow {{f}^{2}}=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}.LC}=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}.L}\left( \frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}} \right)=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}.L{{C}_{1}}}+\frac{1}{4{{\pi }^{2}}.L{{C}_{2}}}=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}.\) (1)
Khi mắc hai tụ điện nối tiếp, ta có C’ = C1 + C2.
Chu kì dao động của mạch:
\(f'=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC'}}\Rightarrow \frac{1}{f{{'}^{2}}}=4{{\pi }^{2}}.LC'=4{{\pi }^{2}}.L\left( {{C}_{1}}+{{C}_{2}} \right)=4{{\pi }^{2}}.L{{C}_{1}}+4{{\pi }^{2}}.L{{C}_{2}}=\frac{1}{f_{1}^{2}}+\frac{1}{f_{2}^{2}}.\) (2)Từ (1) và (2), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}} = \frac{1}{{{6^2}}}\\ f_1^2 + f_2^2 = 12,{5^2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f_1^2 + f_2^2}}{{f_1^2.f_2^2}} = \frac{1}{{36}}\\ f_1^2 + f_2^2 = 156,25 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f_1^2.f_2^2 = \left( {f_1^2 + f_2^2} \right).36 = 5625\\ f_1^2 + f_2^2 = 156,25 \end{array} \right..\)
Ta có \(f_{1}^{2},\text{ f}_{2}^{2}\) sẽ là nghiệm của phương trình \({f^2} - 156,25.f + 5625 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f_2^2 = 100\\ f_1^2 = 56,25 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {f_2} = 10{\rm{ Hz}}\\ {f_1} = 7,5{\rm{ Hz}} \end{array} \right..\) (f1 < f2 vì C1 > C2)
Vậy khi thay C0 bằng C1 thì tần số dao động của mạch là 7,5 Hz.
