Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2 – i} \right| – \left| {z – 2 – 3i} \right| = 2\sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {a;\,b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.
Gọi \(A\left( { – 2;\,1} \right), B\left( {2;\,3} \right)\) là điểm biểu diễn hai số phức \({z_1} = – 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,2} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 \).
Theo giả thiết ta có \(MA – MB = 2\sqrt 5 = AB\) nên suy ra M nằm trên đường thẳng AB và nằm ngoài khoảng AB về phía B.
Ta có phương trình đường thẳng \(AB:\,x – 2y + 4 = 0\).
Vì \(M\left( {a;\,b} \right) \in AB \Rightarrow a – 2b + 4 = 0 \Rightarrow a = 2b – 4\).
Vì M nằm ngoài đoạn AB về phía B nên \(a = 2b – 4 \ge 2 \Rightarrow b \ge 3\)
Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b – 4} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {5{{\left( {b – \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \sqrt {5{{\left( {3 – \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} = \sqrt {13} \).
Câu hỏi liên quan
-
Tìm hai số thực x và y thỏa mãn \((2 x-3 y i)+(1-3 i)=x+6 i\) với i là đơn vị ảo?
-
Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(3 z^{2}-z+2=0 . \text { Tính }\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\)
-
Tìm số phức z thỏa mãn \(i z+2 \bar{z}=9+3 i\)
-
Cho số phức z = m + 1 + mi với (m thuộc R). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc ( - 5;5 ) sao cho \( \left| {z - 2i} \right| > 1\)
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
\(\text { Số phức } z=(1+2 i)(2-3 i) \text { bằng }\)
-
Gọi \(z_{1}, z_{2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2 z^{2}+\sqrt{3} z+3=0\). Giá trị của biểu thức \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng
-
Rút gọn biểu thức \(M = (1- i )^{2018}\) ta được
-
Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình \(z^{2}-2 z+2=0 \quad(z \in \mathbb{C})\). Tính giá trị của biểu thức \(P=2\left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|z_{1}-z_{2}\right|\)
-
Biết z = a + bi , (a,b thuộc R) là nghiệm của phương trình (1 + 2i)z + (3 - 4i)z = - 42 - 54i. Khi đó (a + b ) bằng
-
Cho số phức \(z=a+b i(\text { với } a, b \in \mathbb{R}) \text { thỏa }|z|(2+i)=z-1+i(2 z+3) . \text { Tinh } S=a+b\).
-
Tính \(z=(2-3 i)^{2}+(1+2 i)^{3}\)
-
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}+2 z+10=0\) , giá trị của biểu thức \(A=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\) là.
-
Môđun của số phức z = (2 - 3i)(1 + i)4 là
-
Số phức z = a + bi ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn \(\left( {1 – 3i} \right)z\) là số thực và \(\left| {\overline z – 2 + 5i} \right| = 1\). Khi đó a + b là
-
Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-2 z+5=0\). Giá trị của biểu thức \(z_{1}^{4}+z_{2}^{4}\) bằng.
-
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức z = 1 + 2i, B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. Tìm số z biểu diễn B.
-
Phương trình \(z^{2}-i z+1=0\) có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức?
-
Phần thực của số phức z thỏa \(z=(2 i-1)(3-i)(6-i)\) là:
-
Phần ảo của số phức z thỏa \(z=(2 i-1)(3-i)(6-i)\) là:
