Cho \(x^{2}-x y+y^{2}=2 \text { . }\)Giá trị nhỏ nhất của \(P=x^{2}+x y+y^{2} b\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Xét } \frac{P}{2}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{2}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}-x y+y^{2}}\)
+\(\text { Nếu } y=0 \text { thì } x^{2}=2 \text { . Do đó } P=x^{2}=2 \text { suy ra } \min P=2\)
+\(\text { Nếu } y \neq 0 \text { ta chia tử mẫu cho } y^{2} \text { ta được: } \frac{P}{2}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}-x y+y^{2}}=\frac{1+\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}{1-\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}\)
\(\text { Đặt } t=\frac{x}{y}, \text { khi đó } \frac{P}{2}=\frac{1+t+t^{2}}{1-t+t^{2}} \text { . Xét } f(t)=\frac{1+t+t^{2}}{1-t+t^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(t)=\frac{-2 t^{2}+2}{\left(1-t+t^{2}\right)^{2}} ; f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=1 \\ t=-1 \end{array}\right.\)
Bảng biến thiên:
\(\text { Khi đó } \min \frac{P}{2}=\frac{1}{3} \text { do đó } \min P=\frac{2}{3} \text { . }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f ( x) liên tục và luôn nghịch biến trên [a;b] . Hỏi hàm số f ( x) đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây ?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=e^{x}\left(x^{2}-x-1\right)\) trên đoạn [0;2] là
-
Cho hàm số \(y=x+\frac{1}{x+2}\), giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên [-1, 2] là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3 \cos 2 x-4 \sin x\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}},\) với m là tham số. Giá trị lớn nhất của m để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = – 2\) là
-
Hàm số \(y=\sin x+\cos x\) có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất lần lượt là:
-
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y=x^{4}-2 x^{2}+3\) trên đoạn \([0 ; \sqrt{3}] .\)
-
Hàm số \(y=\left(x^{2}+2 x+3\right)\left(x^{2}+2 x-2\right)\)có giá trị lớn nhất là:
-
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \(G(x)=0.025 x^{2}(30-x)\) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất bằng
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \cos ^{2} x+4 \cos x\)
-
Hàm số \(y=\frac{\sin x+1}{\sin ^{2} x+3}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\) - tại điểm có hoành độ bằng
-
GTNN của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) trên đoạn [-4;4] là
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-4 \sqrt{(x+4)(4-x)}+5\) bằng
-
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), đồ thị của hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) như hình vẽ sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x) \text { trên đoạn }[-1 ; 2]\) là?
-
Cho hàm số f(x). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\), hàm số \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.
.jpg.png)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^{4}-2 x^{2}+1\) trên đoạn [0;2] là:
-
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng m là tham số thực, để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2x + 3} \right) + {x^2} – 4mx + 4{m^2} – 1\) bằng – 4 thì tham số m bằng
.jpg.png)
-
Hàm số \(y=\sqrt{x^{2}+1}+x^{2}\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] lần lượt là:
-
Cho hai số thực dương thỏa mãn \(1 \leq x \leq 2 ; 1 \leq y \leq 2\) . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức \(P=\frac{x+2 y}{x^{2}+3 y+5}+\frac{y+2 x}{y^{2}+3 x+5}+\frac{1}{4(x+y-1)}\)
-
Có một giá trị \({m_0}\) của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
