Cho \(x^{2}-x y+y^{2}=2 \text { . }\)Giá trị nhỏ nhất của \(P=x^{2}+x y+y^{2} b\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Xét } \frac{P}{2}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{2}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}-x y+y^{2}}\)
+\(\text { Nếu } y=0 \text { thì } x^{2}=2 \text { . Do đó } P=x^{2}=2 \text { suy ra } \min P=2\)
+\(\text { Nếu } y \neq 0 \text { ta chia tử mẫu cho } y^{2} \text { ta được: } \frac{P}{2}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}-x y+y^{2}}=\frac{1+\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}{1-\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}\)
\(\text { Đặt } t=\frac{x}{y}, \text { khi đó } \frac{P}{2}=\frac{1+t+t^{2}}{1-t+t^{2}} \text { . Xét } f(t)=\frac{1+t+t^{2}}{1-t+t^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(t)=\frac{-2 t^{2}+2}{\left(1-t+t^{2}\right)^{2}} ; f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=1 \\ t=-1 \end{array}\right.\)
Bảng biến thiên:
\(\text { Khi đó } \min \frac{P}{2}=\frac{1}{3} \text { do đó } \min P=\frac{2}{3} \text { . }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = 5\sqrt {3 - x} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
-
Hàm số \(y=\cos x(\sin x+1)\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0 ; \pi]\) lần lượt là:
-
Hàm số \(y=x^{8}+\left(x^{4}-1\right)^{2}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\). Khi đó tích \(x_{1} . x_{2}\) có giá trị bằng
-
Hàm số \(y=\cos 2 x-3\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0 ; \pi] \mathrm{b}\) bằng
-
Hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x+1\) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;3] tại điểm có hoành độ lần lượt là \(x_{1} ; x_{2}\) Khi đó tổng \(x_{1} + x_{2}\) bằng
-
Cho hàm số y =f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(\begin{equation} f(x)=\left|3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+m\right| \end{equation}\) trên đoạn [-1;3]. Có bao nhiêu số thực m để \(\begin{equation} M=\frac{59}{2} ? \end{equation}\)
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\sin ^{4} x-4 \sin ^{2} x+5\) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
.jpg.png)
Ký hiệu \(g\left( x \right) = f\left( {2\sqrt {2x} + \sqrt {1 – x} } \right) + m.\) Tìm điều kiện của tham số m sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) > 2\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right).\)
-
Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} – 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right].\) Khi đó tổng M + m có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{6-8 x}{x^{2}+1}\) trên khoảng \((-\infty ; 1)\)
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{x - 11}}{{x + 2}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 1;3} \right]\)
-
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
-
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/h , chạy 8 km/h và quãng đường BC = 8(km) . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B.
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=5 \cos x-\cos 5 x \text { với } x \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right]\) là:
-
GTLN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\) trên khoảng (0; 4) đạt được
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 2{m^2} – m}}{{x – 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng – 2.
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
\(\begin{equation} \text { Đặt } g(x)=3-4 f(x) \text { . } \end{equation}\)Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Chohàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {m^2}x – 2{m^2} + 2m – 9,m\) là tham số. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) không vượt quá 3. Tìm m?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\) trên đoạn [1;5]
