Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó \(\cos (A B, D M)\) bằng ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhông mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta B C D \Rightarrow A H \perp(B C D)\).
Gọi E là trung điểm AC \(\Rightarrow M E / / A B \Rightarrow(A B, D M)=(M E, M D)\)
Ta có:\(\cos (A B, D M)=\cos (M E, M D)=|\cos (\overrightarrow{M E}, \overrightarrow{M D})|=|\cos \widehat{E M D}|\).
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED: \(M E=a, E D=M D=\frac{a \sqrt{3}}{2}\)
Xét \(\Delta M E D, \text { ta có: } \cos \widehat{E M D}=\frac{M E^{2}+M D^{2}-E D^{2}}{2 M E \cdot M D}=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Từ đó \(cos(A B, D M)=\left|\frac{\sqrt{3}}{6}\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}\)