Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(MC = x.BC{\rm{ }}\left( {0 < x < 1} \right)\). (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC,DB,AD,AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Xét tứ giác MNPQ có \(\left\{ \begin{array}{l} MQ{\rm{//}}NP{\rm{//}}AB\\ MN{\rm{//}}PQ{\rm{//}}CD \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành.
Mặt khác, \(AB \bot CD \Rightarrow MQ \bot MN\).
Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.
Vì MQ // AB nên \(\frac{{MQ}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{CB}} = x \Rightarrow MQ = x.AB = 6x\).
Theo giả thiết \(MC = x.BC \Rightarrow BM = \left( {1 - x} \right)BC\).
Vì MN // CD nên \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{BM}}{{BC}} = 1 - x \Rightarrow MN = \left( {1 - x} \right).CD = 6\left( {1 - x} \right)\).
Diên tích hình chữ nhật MNPQ là
\({S_{MNPQ}} = MN.MQ = 6\left( {1 - x} \right).6x = 36.x.\left( {1 - x} \right) \le 36{\left( {\frac{{x + 1 - x}}{2}} \right)^2} = 9\)
Ta có \({S_{MNPQ}} = 9\) khi \(x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
