Cho tứ diện đều ABCD. Một mặt phẳng (α) qua trung điểm của cạnh AB và lần lượt song song với AC và BD cắt tứ diện trên theo thiết diện là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi E là trung điểm AB. Ta có E∈(ABC)∩(α)
\(\left\{ \begin{array}{l} AC \subset (ABC)\\ AC//(\alpha )\\ (\alpha ) \cap (ABC) = Ex \end{array} \right. \to Ex//AC\)
Trong mp(ABC), kẻ Ex//AC cắt BC tại F nên F là trung điểm BC.
\(\left\{ \begin{array}{l} BD \subset (BCD)\\ BD//(\alpha )\\ F \in (\alpha ) \cap (BCD)\\ (\alpha ) \cap (BCD) = Ex \end{array} \right. \to Fy//BD\)
Trong mp(BCD), kẻ Fy//BD cắt DC tại G, khi đó G là trung điểm DC.
\(\left\{ \begin{array}{l} AC \subset (ACD)\\ AC//(\alpha )\\ G \in (\alpha ) \cap (ACD)\\ (\alpha ) \cap (ACD) = Gz \end{array} \right. \to Gz//AC\)
Trong mp(ACD), kẻ Gz//AC cắt DA tại H, khi đó H là trung điểm DA.
Do đó
\(\begin{array}{*{20}{l}} {EF = GH = \frac{1}{2}AC}\\ {FG = HE = \frac{1}{2}BD} \end{array}\)
Mà AC=BD do hình tứ diện đều nên EF=GH=FG=HE hay EFGH là hình thoi.
Xét hai tam giác đều ABC và DBC bằng nhau (c-c-c) nên AF=DF (hai đường trung tuyến tương ứng)
Do đó tam giác ADF cân tại F.
Xét hai tam giác đều DAB và CAB bằng nhau (c-c-c) nên DE=CE (hai đường trung tuyến tương ứng)
Do đó tam giác ADF cân tại F.
Mà CE=AF nên AF=DF=DE=DE.
Suy ra hai tam giác DAF và DCE bằng nhau (c-c-c)
⇒HF=EG (hia trung tuyến tương ứng)
Thiết diện EFGH là một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau nên nó là một hình vuông.
Chọn đáp án: B
