Cho tứ giác ABCD có AB ⊥ CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
.png)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt AH = x, x > 0.
Khi đó theo định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H, ta có:
AD2= AH2 + HD2 ⇔ HD2 = AD2 – AH2 = 52 – x2 = 25 – x2.
Suy ra \(HD=\sqrt {25 - {x^2}} \)
Ta lại có
\(\begin{array}{l} HC{\rm{ }} = {\rm{ }}HD{\rm{ }} + {\rm{ }}DC = \sqrt {25 - {x^2}} + 8\\ HB{\rm{ }} = {\rm{ }}AH{\rm{ }} + {\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \end{array}\)
Theo định lí Pythagore trong tam giác HBC vuông tại H, ta có: BC2 = HB2 + HC2
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow \;132\; = \left( {x + 2} \right)2\; + {{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 8} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow \;{x^2}\; + 4x + 4 + 25 - {x^2}\; + 16\;\sqrt {25 - {x^2}} + 64 - 169 = 0}\\ { \Leftrightarrow \;16\sqrt {25 - {x^2}} = - 4x + 76}\\ { \Leftrightarrow \;4\sqrt {25 - {x^2}} = 19 - x} \end{array}\)
Để tính x, ta cần giải phương trình:
\(4\sqrt {25 - {x^2}} = {\rm{ }}19{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }}\;\left( * \right)\)
Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được:
\(\begin{array}{l} 16.\left( {25{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}\;-{\rm{ }}38x{\rm{ }} + {\rm{ }}361\\ \Leftrightarrow \;17{x^2}\;-{\rm{ }}38x{\rm{ }}-{\rm{ }}39{\rm{ }} = {\rm{ }}0\;\\ \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l} x{\rm{ }} = {\rm{ }}3\\ x = - \frac{{13}}{{17}} \end{array} \right. \end{array}\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (*), ta thấy hai giá trị x = 3 và \(x = - \frac{{13}}{{17}}\)
đều thỏa mãn.
Vì điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.
Vậy ta tính được AH = 3.
Suy ra \(HD{\rm{ }} = \sqrt {25 - {3^2}} = 4;HC{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}12;{\rm{ }}HB{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}5\)
Diện tích tam giác HAD là \({S_{HAD}}\; = \frac{1}{2}HA{\rm{ }}.{\rm{ }}HD{\rm{ }} = \frac{1}{2}.{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}6\)
Diện tích tam giác HBC là \({S_{HBC}}\; = \frac{1}{2}HB{\rm{ }}.{\rm{ }}HC{\rm{ }} = \frac{1}{2}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}30\)
Vậy diện tích tứ giác ABCD là S = SHBC – SHAD = 30 – 6 = 24 (đvdt).
