Có bao nhiêu số phức z có phần ảo nguyên thỏa mãn \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt 5 \) và \(\left( {z – i} \right)\left( {\overline z + 2} \right)\) là số thực?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = a + bi,\left( {a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\).
Theo giả thiết:
\(\left| {z – 1} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi – 1} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2a – 4 = 0\)(1).
Mặt khác \(\left( {z – i} \right)\left( {\overline z + 2} \right) = \left( {a + bi – i} \right)\left( {a – bi + 2} \right) = {a^2} + {b^2} + 2a – b + \left( {2b – a – 2} \right)i\) là số thực nên 2b – a – 2 = 0 hay a = 2b – 2.
Thay a = 2b – 2 vào (1), ta được: \( \Leftrightarrow {\left( {2b – 2} \right)^2} + {b^2} – 2\left( {2b – 2} \right) – 4 = 0 \Leftrightarrow 5{b^2} – 12b + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2(n)\\b = \frac{2}{5}\left( l \right)\end{array} \right.\)
Với b = 2, ta có: a = 2.
Vậy có 1 số phức z thỏa đề: z = 2 + 2i.
