Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập A = {1;2;3;4;5;6;7;8} sao cho số đó chia hết cho 1111?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \( m = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{a_i} \in A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_i} \ne {a_j}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall i;j = \overline {1;8} } \right)\)
Do \( {a_i} \in A,\) các \( {a_i} \ne {a_j}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall i;j = \overline {1;8} \) nên \( \mathop \sum \limits_{i = 1}^8 {a_i} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36\)
Do đó m⋮9. Mà \( m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1111{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right) \Rightarrow m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 9999.\)
Đặt \( p = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} q = \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \)
ta có:
\( < p + q < 2.9999m = p.104 + q = 9999.p + (p + q) \vdots 9999 \Rightarrow (p + q) \vdots 9999\)
Do \( < p,q < 9999 \Rightarrow 0 < p + q < 2.9999\)
Mà \((p + q) \vdots 9999 \Rightarrow p + q = 9999 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1} + {a_5} = 9\\ {a_2} + {a_3} + {a_7} = 4\\ {a_4} + {a_8} = 9 \end{array} \right.\)
Có 4 cặp có tổng bằng 9 là (1;8);(2;7);(3;6);(4;5).
Suy ra có:
+) 8 cách chọn a1, ứng với mỗi cách chọn a1 có 1 cách chọn a5.
+) 6 cách chọn \( {a_2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { \ne {a_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \ne {a_5}} \right)\) , ứng với mỗi cách chọn a2 có 1 cách chọn a6.
+) 4 cách chọn \( {a_3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { \ne {a_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_5},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_6}} \right)\) , ứng với mỗi cách chọn a3 có 1 cách chọn a7
+) 2 cách chọn \( {a_4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { \ne {a_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_3};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_5};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_6};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {a_7}} \right)\) , ứng với mỗi cách chọn a4 có 1 cách chọn a8.
Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả 8.6.4.2=384 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
