Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-4 \sqrt{(x+4)(4-x)}+5\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(-4 \leq x \leq 4\)
Hàm số liên tục trên [-4;4]
Đặt \(t=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x} \Rightarrow t^{2}=x+4+4-x+2 \sqrt{(x+4)(4-x)} \Rightarrow \sqrt{(x+4)(4-x)}=\frac{t^{2}-8}{2}\)
Ta có \(y=t-4\left(\frac{t^{2}-8}{2}\right)+5=-2 t^{2}+t+21=f(t)\)
Tìm điều kiện của t: Xét hàm số \(g(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x} \text { vói } x \in[-4 ; 4]\)
\(\begin{array}{l} g^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+4}}-\frac{1}{2 \sqrt{4-x}} ; g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0 ; g(-4)=2 \sqrt{2} ; g(0)=4 ; g(4)=2 \sqrt{2} \\ \Rightarrow \min \limits_{x \in[-4 ; 4]} g(x)=2 \sqrt{2} ; \max\limits _{x \in[-4 ; 4]} g(x)=4 \Rightarrow t \in[2 \sqrt{2} ; 4] \end{array}\)
Ta có \(f^{\prime}(t)=-4 t+1<0 \forall t \in[2 \sqrt{2} ; 4] \Rightarrow\)f(t) là hàm nghịch biến trên \([2 \sqrt{2} ; 4]\)
Vậy \(\underset{[-4 ; 4]}{\operatorname{Max}} y=f(2 \sqrt{2})=5+2 \sqrt{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y=\sqrt{x^{2}+1}+x^{2}\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1 ; 1] lần lượt là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]\) bằng
-
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f(t)=45 t^{2}-t^{3}, t=0,1,2, \ldots, 25\) Nếu coi f(t) là hàm số xác định trên đoạn [0;25] thì đạo hàm f’(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2 \sin x-\frac{4}{3} \sin ^{3} x \text { trên }[0 ; \pi]\) là:
-
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng m là tham số thực. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(f\left( {3x – m} \right) + 2f\left( {{x^2} – 2x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập S bằng:
.jpg.png)
-
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S=6 t^{2}-t^{3}\) vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng
-
Hàm số \(y=\frac{x^{2}-2}{\sqrt{x^{2}+1}}\) có giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ bằng:
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{5-4 x}\) trên đoạn [-1;1] là:
-
Xét hàm số \(y=\frac{4x-1}{x}\)trên đoạn [-2 ; - 1] . Hãy chọn khẳng định đúng
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của S là
-
Cho hàm số \(y = \left| {{x^2} + 2x + a – 4} \right|\). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { – 2;1} \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất?
-
Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)=\left(x^{2}-2\right) \cdot e^{2 x}\) trên đoạn [-1 ; 2].
-
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} – 3{\rm{x}} + 6}}{{x – 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) lần lượt là \(M,\,\,m\). Tính \(S = M + \,\,m.\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { – 4; – 1} \right]\) bằng.
-
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\frac{4}{x+1}\)trên đoạn [0; 4]
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2 \sin ^{2} x+2 \sin x-1\) bằng
-
Hàm số \(y=\frac{1}{x^{2}+1}\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng ?
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{4x - 7}}{x}\text{ trên đoạn } \left[ {1;3} \right]\)
-
Cho hàm số \(\begin{equation} y=f(x) \end{equation}\) liên tục trên đoạn (-1;3) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3] . Giá trị của M-m bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2 \sin ^{2} x+2 \sin x-1\) bằng
