Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-4 \sqrt{(x+4)(4-x)}+5\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(-4 \leq x \leq 4\)
Hàm số liên tục trên [-4;4]
Đặt \(t=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x} \Rightarrow t^{2}=x+4+4-x+2 \sqrt{(x+4)(4-x)} \Rightarrow \sqrt{(x+4)(4-x)}=\frac{t^{2}-8}{2}\)
Ta có \(y=t-4\left(\frac{t^{2}-8}{2}\right)+5=-2 t^{2}+t+21=f(t)\)
Tìm điều kiện của t: Xét hàm số \(g(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x} \text { vói } x \in[-4 ; 4]\)
\(\begin{array}{l} g^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+4}}-\frac{1}{2 \sqrt{4-x}} ; g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0 ; g(-4)=2 \sqrt{2} ; g(0)=4 ; g(4)=2 \sqrt{2} \\ \Rightarrow \min \limits_{x \in[-4 ; 4]} g(x)=2 \sqrt{2} ; \max\limits _{x \in[-4 ; 4]} g(x)=4 \Rightarrow t \in[2 \sqrt{2} ; 4] \end{array}\)
Ta có \(f^{\prime}(t)=-4 t+1<0 \forall t \in[2 \sqrt{2} ; 4] \Rightarrow\)f(t) là hàm nghịch biến trên \([2 \sqrt{2} ; 4]\)
Vậy \(\underset{[-4 ; 4]}{\operatorname{Max}} y=f(2 \sqrt{2})=5+2 \sqrt{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + e2x trên đoạn [0;2] là
-
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g(x) = f(2x) – {\sin ^2}x\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) là
.png)
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - x - 9}}{{x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 4} \right]\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=5 \cos x-\cos 5 x \text { với } x \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right]\) là:
-
Trên đoạn [-1;1], hàm số \(y = - \frac{4}{3} x³ - 2x² - x - 3\)
3 -
Hàm số \(y=x^{2}+2 x+1\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] lần lượt là \(y_{1} ; y_{2}\) Khi đó tích \(y_{1} . y_{2}\) bằng:
-
Hàm số \(y=2 \cos ^{3} x-\frac{7}{2} \cos ^{2} x-3 \cos x+5\) có giá trị nhỏ nhất bằng:
-
Tìm GTNN của hàm số \(y = {x^2} - 3x + 5\)?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^{3}-8 x^{2}+16 x-9\) trên đoạn [1;3] là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}-8 x+7}{x^{2}+1}\) là
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}+3 x-1}{x-2}\) trên đoạn [-2;0] là:
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 1 - 5x}}{x} = \frac{{ - 5x - 1}}{x}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 1} \right]\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x-1}\) trên khoảng \((1 ;+\infty)\) là
-
Tìm m để bất phương trình x2-5mx+9 ≥ 0 có nghiệm x ?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) trên khoảng (−∞;+∞):
-
Để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3x + 2m – 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là nhỏ nhất thì giá trị của m thuộc
-
Cho hàm số \(y=2 x^{3}-3 x^{2}-m\) . Trên \([-1 ; 1]\) hàm số có giá trị nhỏ nhất là -1 . Tính m
-
Hàm số \(y=-9 \sin x-\sin 3 x\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn\([0 ; \pi]\) lần lượt là
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {6 - x} - \sqrt {x + 4} \) đạt tại x0, tìm x0?
-
Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng:
