Hàm số \( f(x) = {(x - 1)^2} + {(x - 2)^2} + ... + {(x - n)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa viết lại hàm số đã cho thành
\(\begin{array}{l} f(x) = n{x^2} - 2(1 + 2 + ... + n)x + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\\ = n{x^2} - n(n + 1)x + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\\ = n\left[ {{x^2} - 2.\frac{{n + 1}}{2}x + \frac{{n{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}} \right] - \frac{{n{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\\ = n{\left( {x - \frac{{n + 1}}{2}} \right)^2} - \frac{{n{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2} \ge - \frac{{n{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2} \end{array}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \( x = \frac{{n + 1}}{2}\)