Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

Với n thuộc N*, ta xét các mệnh đề: P:“ 7ⁿ + 5 chia hết cho 2”; Q: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 3” và R: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 6”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) (p  là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề P( n ) đúng với n = p.  Bước 2, giả thiết mệnh đề P( n ) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k\ge p \) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Trong hai bước trên:

Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7 000 000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

Kí hiệu \(k! = k( (k - 1) )...2.1, \forall k \in N^*\). Với n thuộc N*, đặt \(S_n= 1.1! + 2.2! + ... + n.n! \). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho dãy số (un) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 5}\\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + n}
\end{array}} \right.\). Số hạng tổng quát unun của dãy số là số hạng nào dưới đây? 

Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1 ; đồng thời các số x ; 2y ; 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q.

Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (a: hằng số); u_n+1 là số hạng nào sau đây?

Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

Giá trị của tổng \(S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + ( 2n + 1) \) là:

Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm . Kí hiệu h_n là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao h_n ?

Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

Với mọi số tự nhiên n, tổng \(S_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \) chia hết cho:

Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với (n = k ) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Cho tổng \( {S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\). Mệnh đề nào đúng?

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = 0.\)

Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)

Với mọi số tự nhiên \((n \ge 2 )\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Với (n thuộc N*), đặt \(T_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (2n)^2;M_n= 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2n)^2\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng