Với mọi số tự nhiên n, tổng \(S_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \) chia hết cho:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới n = 0 ta có: S0=3 chia hết cho 3, ta chứng minh \(S_n=n^3+3n^2+5n+3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là \(S_k=k^3+3k^2+5k+3\) chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là
\( {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)}^3} + 3{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12}\\ { = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)} \end{array}\)
Có: \(S_k=k^3+3k^2+5k+3\) chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, \(3(k^2+3k+3)⋮3\), do đó \(S_{k+1}⋮3\)
Vậy Sn⋮3 với mọi số tự nhiên n.
