Cho dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; ...: Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)

Một học sinh chứng minh mệnh đề \(''8^n + 1 \)chia hết cho \( 7,\;\forall n \in {N^{*''}}(*)\)) như sau: Giả sử (* ) đúng với n = k, tức là 8^k + 1 chia hết cho 7.  Ta có: 8^{k + 1}+ 1 = 8(8^k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8^k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8^{k + 1} + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi (n thuộc N*.  Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với n thuộc N*, ta xét các mệnh đề: P:“ 7ⁿ + 5 chia hết cho 2”; Q: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 3” và R: “ 7ⁿ + 5 chia hết cho 6”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Đối với bài toán chứng minh P( n ) đúng với mọi \(n\ge p\) với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Biết rằng \(S = 1 + 2.3 + {3.3^2} + ... + {11.3^{10}} = a + \frac{{{{21.3}^b}}}{4}.\). Tính \(P = a + \frac{b}{4}.\)

Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (a: hằng số); u_n+1 là số hạng nào sau đây?

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.

- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.

Giá trị của tổng \(S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + ( 2n + 1) \) là:

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)

Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

Cho tổng \( {S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\). Mệnh đề nào đúng?

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) (p  là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề P( n ) đúng với n = p.  Bước 2, giả thiết mệnh đề P( n ) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k\ge p \) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Trong hai bước trên:

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Tính các tổng sau \({S_n} = 8 + 88 + 888 + ... + \underbrace {88...8}_{n\,so\,8}\)

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7 000 000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2 ; 3 ; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính \(F = {x^2} + {y^2} + {z^2}.\)

Với mọi số tự nhiên \((n \ge 2 )\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?