Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Phương trình chính tắc của elip đó là:

Tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) lần lượt là:

Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm \(M(\sqrt{15} ;-1)\)

Cho parabol có phương trình chính tắc y² = 2x. Tìm tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của parabol?

Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(\left( { - 3;0} \right),\left( {3;0} \right)\) và hai tiêu điểm là \(\left( { - 1;0} \right),\left( {1;0} \right)\) là: 

Phương trình chính tắc của elip thỏa mãn đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0)

Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac{\sqrt5}3\). Phương trình chính tắc của elip là:

Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |P_A – P_B|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 10⁸ m/s. Phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là:

Cho đường conic có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) Độ dài các trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của các đường conic đó lần lượt là:

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\). Tỉ số k của tiêu cự và độ dài trục bé của elip bằng:

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm \( \approx 1,609km\)). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết trục lớn 2a=8, trục bé 2b=6.

\(\text { Elip }(E): \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \text { có tâm sai bằng bao nhiêu? }\)

Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm \(F\left( { - 3;0} \right)\). Phương trình chính tắc của elip là:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x = –5 và điểm F(–4; 0). Cho ba điểm A(–3; 1), B(2; 8), C(0; 3). Tính các tỉ số sau: \(\frac{{{\rm{AF}}}}{{d(A,\Delta )}};\frac{{{\rm{BF}}}}{{d(B,\Delta )}};\frac{{{\rm{CF}}}}{{d(C,\Delta )}}\) ta được kết quả lần lượt là:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).

Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₁ và OA₂

Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F₁, F2  và có độ dài trục lớn là 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Tìm để m  \(C_{m}: x^{2}+y^{2}+4 m x-2 m y+2 m+3=0\)  là phương trình đường tròn.

Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm M(2;-2).

Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết một tiêu điểm là \((12;0)\) và điểm \((13;0)\) nằm trên elip.

Với những giá trị nào của m thì đường thẳng \(\Delta: 4 x+3 y+m=0\) tiếp xúc với đường tròn \((C): x^{2}+y^{2}-9=0\)